Акции

The golden ratio is one of the most famous irrational numbers; it goes on forever and can't be expressed accurately without infinite space.
Золотое сечение является одной из самых известных иррациональных чисел; она продолжается вечно и не может быть точно выражено без бесконечного пространства.
(Рисунок: © Shutterstock В)

Большинство людей редко имеют дело с иррациональными числами—было бы хорошо, иррациональное, как они бегут вечно, и представляющих их точно требует бесконечного объема пространства. Но иррациональные константы, такие как π и √2—числа, которые нельзя свести к простой дроби—часто возникают в науке и технике. Эти громоздкие цифры преследуют математиков, начиная с древних греков; действительно, легенда гласит, что Hippasus был утоплен за то, что предположил иррациональности не существовало. Правда, теперь янешарли 80-летний положение про то, как хорошо они могут быть аппроксимированы была решена.

Многие люди осмысляют иррациональные числа, округляя их до дроби и десятичные дроби: оценка π как 3.14, что соответствует 157/50, приводит к широкомасштабному празднованию Дня Пи 14 марта. Еще разные аппроксимации, 22/7, легче спорить и ближе к π. Это наталкивает на вопрос: есть ли ограничения на то, как простой и точный эти приближения могут когда-нибудь? И мы можем выбрать фракцию, в каком виде мы хотим?

В 1941 году физик Ричард Даффин и математик Альберт Шеффер предложил простое правило, чтобы ответить на эти вопросы. Рассмотрим квест для аппроксимации различных иррациональных чисел. Во-первых, решение о том, как закрыть приближение должно быть на доли определенного знаменателя. (Помните, “числитель” относится к верхней части и “знаменателем” дно. Здесь, все фракции имеют полностью упрощенные—так, например, 2/4, не считается знаменателем 4, потому что она упрощает до 1/2.) Вы можете решить, что упрощение дробей вида n/2 может аппроксимировать любую иррациональное число, чье истинное значение будет находиться в пределах 1/10 из них—дает приближение “ошибка” в 1/10. Фракции, которые выглядят как N/10 ближе друг к другу на числовой оси, чем те, с знаменателем 2, так что вы можете ограничить ошибка в таком случае только 1/100—эти фракции могут что-нибудь примерное в течение 1/100-й из них.

Как правило, крупные черты связаны с меньшими погрешностями. Если это правда, и существует бесконечное множество знаменателей, которые можно использовать для приблизительного числа в пределах соответствующей ошибки, то за счет увеличения знаменателя аппроксимации может быть сделано лучше и лучше. Даффина и правила Шеффера меры, когда это может быть сделано исходя из размера ошибки.

Если выбранный ошибки достаточно малы, в целом, случайно выбрал иррациональное число X будет иметь лишь ограниченное число хороших приближений: он может попасть в зазоры между приближенными с определенной знаменателями. Но если ошибки достаточно большой, там будет бесконечно много знаменателей, которые создают хорошее аппроксимирующей дроби. В этом случае, если ошибки также уменьшить как знаменатель больше, то вы можете выбрать приближение, что так же точно, как вы хотите.

Недоказанный

Получается, что либо можно аппроксимировать практически любое число произвольно, ну или почти ни один из них. “Есть поразительное несоответствие”, — говорит Димитрис Koukoulopoulos, математик в Университете Монреаля. Кроме того, вы можете выбрать, как вы хотите ошибки, и пока они достаточно большие, в совокупности большинство чисел можно аппроксимировать бесконечно многими способами. Это означает, что, выбирая некоторые ошибки в ноль, можно ограничить приближений к определенным типам фракций—например, те, знаменатели которых являются степенями только 10.

Хотя вполне логично, что мелкие ошибки затрудняют приблизительные цифры, Даффина и Шэффер были неспособны подтвердить свои гипотезы—и не было никого. Доказательство остается “знаковым открытые проблемы” в теории, — говорит Кристоф Aistleitner, математик по техническим университетом г. Грац в Австрии, который изучал проблему. То есть до этого лета, когда Koukoulopoulos и его соавтор Джеймс Мейнард объявил свое решение в документе, размещенном на препринт arXiv.org сервер.

Даффина-Шеффера гипотеза “имеет эта волшебная простота в область математики, что, как правило, чрезвычайно трудно и сложно”, — говорит Мейнард, профессор Оксфордского университета. Сам наткнулся на эту проблему случайно—он является теоретиком, но не в том же районе, как большинство Даффина-Шеффера экспертов. (Он обычно изучает простые числа — те, которые делятся только сами и 1.) В Университете Йорка предложил профессор Мэйнард решения Даффина-Шеффера догадках после того, как он прочел там лекцию. “Я думаю, что у него была интуиция, что это может быть выгодно, чтобы сделать кого-то немного за пределами непосредственной сферы”, — говорит Мейнард. Что интуиция оказалась правильной, хотя она не будет плодоносить несколько лет. Вскоре после этого начального разговора, Мейнард предложил сотрудничество в Koukoulopoulos на подозрение, что его коллега провели соответствующую экспертизу.

Мейнард и Koukoulopoulos знал, что предыдущая работа в области снизило остроту проблемы в один про простые множители знаменателей—простые числа, что при умножении вместе, доходность знаменатель. Мейнард предложил подумать о проблеме, как тени в цифрах: “представьте, на числовой прямой, раскраски в всех номеров дроби со знаменателем 100.” Даффина-Шеффера гипотеза говорит, что если ошибки достаточно велики, и один делает это для каждого возможный знаменатель, почти каждый номер будут окрашены в бесконечно много раз.

Для любого конкретного знаменателя, только часть линии будут окрашены в. Если математики смогли доказать, что для каждого знаменателя, достаточно разных местах были цветные, они будут обеспечивать почти каждый номер был закрашен. Если они могут доказать, что эти разделы дублируют друг друга, они могли бы заключить, что случалось много раз. Один из способов захвата этой идеи из разных, но перекрывающихся областей доказать регионов, окрашенных различными знаменателями имели ничего общего друг с другом—они были независимы.

Но это не совсем так, особенно если двух знаменателей разделяют многие простые множители. Например, можно знаменателями 10 и 100 факторов, доля 2 и 5—и чисел, которые могут быть аппроксимированы дробей вида n/10 выставка разочарование совпадает с тем, что можно аппроксимировать фракций Н/100.

Графический проблему

Мейнард и Koukoulopoulos решить эту головоломку с помощью рефрейминга проблема в сетях, математиков графы—вызова множества точек, с некоторыми соединены линиями (ребра). Точки в их графики представлены возможные знаменатели, что исследователи хотели использовать для аппроксимации фракции, и были две точки соединены ребром, если они имели много простых общих делителей. Графики имели много ребер точно в тех случаях, когда допускается знаменателями было нежелательных зависимостей.

С помощью графов позволило двум математиков визуализировать проблемы в новый способ. “Один из крупнейших выводы что вам нужно, это забыть все, что неважных частей проблемы и просто дома на один или два фактора, которые делают [это] очень особенной”, — говорит Мейнард. Используя графики, говорит он, “не только позволяет доказать результат, но это действительно что-то тебе рассказывать структурных о том, что происходит в задаче.” Мейнард и Koukoulopoulos сделать вывод, что графики со множеством ребер соответствует определенной, структурированной математической ситуации, что они могли бы анализировать отдельно.

Решение дуэт стал неожиданностью для многих в области. “Общее ощущение было, что это не было близко, чтобы быть решена”, — говорит Aistleitner. “Методика использования [графики] является то, что, возможно, в будущем будет рассматриваться как раз как важно [а]—может быть, более важны, чем фактический Даффина-Шеффера догадках”, — говорит Джеффри Vaaler, отставной профессор в Университете Техаса, Остин, кто доказал частный случай гипотезы в 1978 году.

Он может принимать другие эксперты несколько месяцев, чтобы понять все детали. “Доказательством сейчас является долгим и сложным доказательства”, — говорит Aistleitner. “Это не достаточно просто иметь одну поразительную, гениальную идею. Есть множество деталей, которые должны быть под контролем”. На 44 страницы плотные, технической математики, даже ведущие математические умы нужно время, чтобы обернуть их головы вокруг бумаги. Сообщество, однако, внушает оптимизм. Vaaler говорит: “Это красивая бумага. Я думаю, что это правильно”.

Эта статья была впервые опубликована в ScientificAmerican.com. © ScientificAmerican.com. Все права защищены следуйте за научным американцем на Twitter @SciAm и @SciamBlogs. Посетите ScientificAmerican.com для последних в области науки, здравоохранения и Технологии Новости.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *